Algebraic geometry constructions of convolutional codes

Las técnicas de geometría algebraica para construir códigos lineales pueden ser aplicados a la construcción de códigos convolucionales, usando curvas algebraicas sobre los campos de función. En este sentido se construyen códigos Goppa convolucionales y se provee un sistema para construir códigos convolucionales con propiedades prescritas.Algebraic-geometric techniques to construct linear codes can be appliedto construct convolutional codes, using algebraic curves over functionfields. In this way we construct convolutional Goppa codes and providea systematic way for constructing convolutional codes with prescribedproperties. We study convolutional Goppa codes defined by the projec-tive line and elliptic curves in detail

Convolutional codes of Goppa type

Se definen nuevos códigos convolucionales (MDS) generalizando los códigos Goppa.A new kind of Convolutional Codes generalizing Goppa Codes isproposed. This provides a systematic method for constructing convolutionalcodes with prefixed properties. In particular, examples of Maximum-DistanceSeparable (MDS) convolutional codes are obtained

Gestión del conocimiento: perspectiva multidisciplinaria. Volumen 11

El libro “Gestión del Conocimiento. Perspectiva Multidisciplinaria”, Volumen 11, de la Colección Unión Global, es resultado de investigaciones. Los capítulos del libro, son resultados de investigaciones desarrolladas por sus autores. El libro cuenta con el apoyo de los grupos de investigación: Universidad Sur del Lago “Jesús María Semprúm” (UNESUR), Zulia – Venezuela; Universidad Politécnica Territorial de Falcón Alonso Gamero (UPTAG), Falcón – Venezuela; Universidad Politécnica Territorial de Mérida Kleber Ramírez (UPTM), Mérida – Venezuela; Universidad Guanajuato (UG) - Campus Celaya - Salvatierra - Cuerpo Académico de Biodesarrollo y Bioeconomía en las Organizaciones y Políticas Públicas (C.A.B.B.O.P.P), Guanajuato – México; Centro de Altos Estudios de Venezuela (CEALEVE), Zulia – Venezuela, Centro Integral de Formación Educativa Especializada del Sur (CIFE - SUR) - Zulia - Venezuela, Centro de Investigaciones Internacionales SAS (CIN), Antioquia - Colombia.y diferentes grupos de investigación del ámbito nacional e internacional que hoy se unen para estrechar vínculos investigativos, para que sus aportes científicos formen parte de los libros que se publiquen en formatos digital e impreso

Métodos de geometría algebraica en teoría de códigos convolucionales

[ES] En este trabajo se desarrolla la teoría de un nuevo tipo de códigos convolucionales que generalizan los códigos algebraicos de Goppa y que permiten construir importantes familias de códigos con buenas prestaciones en cuanto a su implementación, con alfabeto pequeño, y a su capacidad de corregir errores, es decir, con la mayor distancia posible entre sus palabras. Se parte de la teoría algebraica de códigos convolucionales de Forney, adaptándola en función de los objetivos de esta memoria y haciendo especial énfasis en su interpretación como módulos sobre un dominio de ideales principales y en su relación con los sistemas lineales. Se definen los códigos convolucionales de Goppa sobre curvas algebraicas como códigos algebro-geométricos obtenidos por evaluación de una serie lineal en puntos racionales de una curva algebraica sobre el cuerpo de las funciones racionales de una variable con coeficientes en un cuerpo finito. Se calcula su longitud y dimensión en función de los divisores sobre la curva asociados y se demuestra que el código convolucional es también un código convolucional de Goppa. De este modo se generaliza la teoría de Goppa de códigos en curvas algebraicas sobre un cuerpo finito al cuerpo (infinito) de funciones racionales sobre él, evitando así el problema de encontrar suficientes puntos racionales. Por ello a estos nuevos códigos los denominamos códigos convolucionales de Goppa (CGC) o de tipo Goppa. Se ilustra esta construcción general con ejemplos de códigos convolucionales de Goppa sobre curvas de género cero y uno que son MDS. Se construyen códigos convolucionales de Goppa sobre la recta proyectiva que son MDS, describiendo explícitamente sus matrices generadoras y de control proponiendo numerosos ejemplos en los que fácilmente se dan las matrices codificadoras y de control y también una realización minimal del sistema lineal asociado. Esta construcción, que engloba resultados de otros autores, nos permite construir familias de códigos de este tipo que son óptimos o MDS, es decir con la máxima distancia posible entre sus palabras, y también clasificarlas dando explícitamente las ecuaciones de los códigos de la familia que no son MDS. Se incluyen ejemplos que ponen de manifiesto la ventaja de la teoría desarrollada en la elección de códigos convolucionales MDS sobre alfabeto pequeño. Se generaliza la construcción de nuestros códigos convolucionales de Goppa sobre curvas a variedades algebraicas proyectivas de dimensión superior. Estos códigos están asociados a una pareja formada por un subesquema de dimensión cero (una familia de puntos racionales distintos) y un divisor cuyo soporte no pasa por esos puntos. Se detalla esta construcción en dos casos interesantes: el plano proyectivo y la superficie reglada trivial, añadiendo ejemplos de buenos códigos en el sentido reseñado. Se definen y estudian también los códigos convolucionales de Goppa sobre fibraciones, construyéndolos sobre familias de variedades algebraicas parametrizadas por la recta afín, que dan códigos lineales sobre las fibras de los puntos cerrados y un código convolucional de Goppa en la fibra sobre el punto genérico. Se incluyen como aplicaciones: una interpretación geométrica de la distancia libre del código y una nueva interpretación de algunos códigos 2D

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Es un curso elemental de Álgebra lineal y Geometría en el que se aprenden y utilizan los conceptos y herramientas básicos de esta disciplina. Objetivos • Utilizar el cálculo matricial elemental • Modelizar como espacios vectoriales conjuntos de polinomios, matrices y funciones • Saber operar con vectores, bases, coordenadas y aplicaciones lineales • Saber realizar cambios de base • Reconocer y calcular las distintas ecuaciones de las subvariedades afines • Interpretar, discutir y resolver sistemas lineales, así como establecer su relación con las posiciones relativas de las subvariedades afines. Esta asignatura se imparte en el primer curso del Grado en Físicas.I. Materiales de clase: Tema 1. Espacios y subespacios vectoriales. Dependencia e indepencia lineal. Bases y dimensión; Tema 2. Operaciones con subespacios. Subespacios suplementarios; Tema 3. Aplicaciones lineales. Núcleo e imagen de una aplicación lineal. Tipos de aplicaciones lineales; Tema 4. Aplicaciones lineales en coordenadas: matrices. Sistemas lineales. Cambios de base; Tema 5. Funciones coordenadas. Espacio dual. Subespacio incidente. Ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio; Tema 6. Geometría afín. II. Materiales complementarios. III. Bibliografía

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En esta asignatura se pondrán en práctica los conocimientos básicos adquiridos en la asignatura de Álgebra lineal y Geometría I del cuatrimestre anterior para conseguir como objetivos los siguientes: Objetivos: • Reconocer y calcular las formas más sencillas que, mediante un cambio de base, pueden adoptar las matrices asociadas a un endomorfismo. • Saber resolver problemas métricos en el espacio euclídeo. • Identificar qué tipo de transformaciones lineales del espacio euclídeo conservan ángulos y distancias y estudiar sus propiedades. • Saber clasificar las métricas simétricas sobre un R-espacio vectorial, interpretándolas como diferentes formas de medir en un espacio físico real, y estudiar su aplicación a la clasificación de formas cuadráticas y al estudio de las cónicas. • Iniciar el estudio de los tensores, de los que vectores, formas lineales, endomorfismos y métricas son casos particulares

Adaptación de materiales docentes y establecimiento de sistemas tutoriales para la docencia de las asignaturas de Álgebra lineal y Geometría del Grado en Físicas

Memoria ID11-042. Ayudas de la Universidad de Salamanca para la innovación docente, curso 2011-2012

Convolutional Goppa Codes

En el artículo se definen los códigos Goppa a través de curvas algebraicas y la construccion de sus correspondientes códigos duales.In this correspondence, we define convolutional Goppa codesover algebraic curves and construct their corresponding dual codes. Examplesover the projective line and over elliptic curves are described, obtainingin particular some maximum-distance separable (MDS) convolutionalcodes